En cette période d’inquiétude et d’incertitude, toutes contributions de nature à fixer, les trajectoires sanitaires, économiques, sociales et même sociétales sont plus que jamais salutaires et louables. C’est ainsi que je tiens à féliciter très chaleureusement mon Grand frère et ami Mr Cheikh Baye Cheikh Abdellahi pour cette brillante analyse et scintillante. Je me souviens de cette expédition à Kigali, où tu avais une fois de plus, impressionné tout l’auditoire, dans la pertinence de tes idées et ton esprit agile. Un grand bravo encore une fois !
Au risque de me faire tirer les oreilles à notre prochaine rencontre, je m’en vais à travers ces quelques lignes alimenter la réflexion, que j’ose espérer constructive. Elle se focalise essentiellement sur la méthodologie de construction et d’inférence statistique.
Sur le plan de l’action gouvernementale, son efficacité, ne laisse aucun doute. Sur le plan d’outillage décisionnel, Oui il est vrai que la compréhension du mécanisme de propagation de cette pandémie demeure un impératif, il est vrai aussi que l’ensemble des interactions décrites dans ton modèle ont été mimées par le pouvoir sanitaire et le résultat qui est en découle est salutaire.
Sur le plan de la rigueur méthodologique, Il semble que le modèle étudié et présenté souffre de quelques lacunes d’ordre conceptuelle.
Observation N°01 :
Equation 1: S(t) + I(t) + R(t) = P
C’est une évidence que de considérer : que dans une population donnée (P), vous avez à chaque instant (t) une partie de cette population qui est saine et susceptible d’être contaminée (S), une partie d’infectée (I), et une partie de rétablies ou morts qui ne peuvent plus être contaminées ni être contaminants
Tu conviendras qu’il s’agit là d’une égalité comptable qui n’est rien d’autre qu’est un jeu d’écriture symétrique, ou dans un langage mathématique rigoureux, c’est une tautologie, une vérité certaine, l’équation 1 sera toujours vérifiée quelle que soit l’évolution des paramètres de contrôle. Ainsi, à elle seule cette équation ne saurait expliquée les mécanismes d’évolution de cette maladie, car elle ne contient aucune relation causale ni aucune représentation des comportements individuels.
Par contre en y intégrant les équations fondamentales de comportement telles que:
et , u(t)= u(0)𝒆− 𝛄+𝐛 𝐭
Ainsi la moyenne de la période d’infection sera dt =1/(γ +b).
∫∞ 𝒆−(𝛄+𝐛)𝐭 dt =1/(γ +b).
-Le calcul de cette moyenne dépend de l’estimation des paramétres ( )
-en moyenne, un individu de la population rencontre β individus par unité de temps ;
-Le taux d’individus infectés qui quittent la compartiment I est γI (où γ représente le taux de guérison) par unité de temps ;
-Le taux de mortalité est égal au taux de natalité b ;
Le système proposé devient statistiquement percutant et exploitable. Cependant comme beaucoup de modèle statistique, la robustesse statistique de ces résultats et en conséquence, les interprétations que l’on pourrait en déduire sont fortement corrélées aux calibrages du modèle.
En d’autres termes, il faudrait économétriquement estimer ou chiffrer les paramètres suivants : β, γI, b …. Ou à défaut, utiliser des proxys ou encore emprunter les paramètres aux pays présentant des similarités en termes de facteurs épidémiques.
Observation N°02 :
Le modèle SIR est un modèle déterministe. Dans ce modèle déterministe, la taille de la population doit être suffisamment grande pour pouvoir supposer que ces fonctions sont dérivables, et en particulier, elles prennent des valeurs non entières. En effet, toute la dynamique instructive du modèle SIR se base essentiellement sur l’hypothèse d’une population de grande taille. Lorsque ce n’est pas le cas, les interactions entre les individus ne sont plus uniformes mais possèdent un caractère aléatoire intrinsèque. C’est encore le principe de la loi des grands nombres, plus formellement, il signifie que la moyenne empirique, calculée sur les valeurs d’un échantillon, converge vers l’espérance lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Il est évident qu’il serait très hasardeux de tirer quelques enseignements que ce soit, sur l’application de ce modèle au cas Mauritanien.
Observation N°03 :
Équation 2: 𝑅0 = β×τ× Δ
Cette équation suit une courbe exponentielle en témoigne leurs définitions ;
𝑅0 est une fonction croissante de β ;
𝑅0 est une fonction croissante de τ ;
𝑅0 est une fonction croissante de Δ ;
Cette équation n’est pas un processus markovien
Même si le raisonnement mathématique que tu nous as exposé est bon, il n’est cependant reflété à travers l’équation (2). Aucune relation de récurrence n’est présente dans cette équation, la valeur à l’instant (t) n’est pas algébriquement liée à la valeur à l’instant t-1. Dans ce cas de figure il n’est pas aisé d’en tirer des inférences statistiques : avec la formulation proposée impossible de faire une dérivation ou une intégration.
Proposition
Essayons par contre avec la fonction
𝑿𝒕=𝜷𝑿𝒕−𝟏 + τ+ Δ +μ𝒕
Avec 𝑿𝒕 le nombre de personne contaminé à l’instant (t)
En supposant qu’effectivement 𝛽 qui représente l’effort sanitaire intrinsèque de la population à travers : le lavage fréquent des mains avec de l’eau et du savon, ainsi que tous les autres gestes barrières recommandés par les autorités sanitaires, est inférieur à l’unité,
𝛽 < 1
Et que Δ, une constante que l’on peut estimer.
L’évolution du processus finira par se stabiliser au bout d’un certain temps : on peut le démontrer en calculant
La 𝑙𝑖𝑚𝑡𝑡 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 ∞ 𝑋𝑡=0 ;
μ𝒕
Représente un bruit blanc ;
On obtient ainsi une courbe en cloche :
Si ; les mesures recommandées par les autorités ne sont pas suivies par les habitants ;
Le processus explose et la contamination atteint des niveaux records.
La variable τ : La fermeture des écoles et d’autres lieux publics, l’interdiction de tout rassemblement, le confinement et la réduction de la mobilité font baisser le taux de contact (à condition d’un respect scrupuleux des consignes) , et à cela j’ajouterais les mesures financières prises, par les autorités (efforts gouvernementales), afin que les personnes économiques vulnérables ne violent pas les consignes de sécurités en menant des activités commerçantes clandestines et à travers ce comportement remettre en cause la variable τ .
L’utilité de ce modèle est double :
Il permet de rendre compte des effets d’actions isolées (responsabilité de la population, responsabilité des autorités)
Avec une estimation des paramètres (estimation économétrique), il nous permettra très aisément de faire des prévisions assez robustes et mieux accompagner les décideurs dans leurs actions de lutte contre le CODIV-19.
Dr. Diery Karimou SY
dierykarimou28@gmail.com
Suggestion kassataya.com :
(Reçu à Kassataya le 21 avril 2020)
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